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2024年山东省威海市威海经济技术开发区中考一模数学试题注意事项：1．本试卷分试题卷和答题卡两部分．试题卷8页，答题卡6页，考试时间120分钟．考试结束，上交答题卡；2．在答题卡答题时，须用黑色中性笔，作图用2B铅笔．答题时，请务必在题号所指示的区域内作答，写在试题卷上或答题卡指定区域以外的答案一律无效；3．不要求保留精确度的题目，计算结果保留准确值．祝考试成功!一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分)1．若有理数的相反数是2，则的倒数等于（）A．2 B． 2 C． D．2．宋·苏轼《赤壁赋》：“寄蜉蝣于天地，渺沧海之一粟．”比喻非常渺小，据测量，粒粟的重量大约为克，用科学记数法表示一粒粟的重量约为（）A．克 B．克 C．克 D．克3．下列计算正确的是（）A． B．C． D．4．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．一棋谱中四部分的截图由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（）A． B． C． D．5．如图所示，若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序如下：则按键的结果为（）A．3 B．7 C．15 D．196．已知实数满足，则代数式的值为（）A．9 B．7 C．0 D．7．甲、乙两名学生五次的演讲比赛成绩分别如图所示：

下列说法正确的是（）A．甲的平均数是69 B．乙的众数是70C．甲的中位数是65 D．8．如图，在中，，将沿折叠至，，连接，平分，则的度数是（）A． B． C． D．9．如图，矩形ABCD的边长AD=3，AB=2，E为AB的中点，F在边BC上，且BF=2FC，AF分别与DE、DB相交于点M，N，则MN的长为（ ）A． B． C． D．10．在平面直角坐标系中，拋物线经过点，．则下列说法错误的是（）A．若，抛物线的对称轴为直线B．若且，则的取值范围为或C．若，则抛物线的开口向下D．若，点在该拋物线上，且，则有二、填空题(本大题共6小题；每小题3分，共18分、只要求填出最后结果)11．已知，，则 ．12．若关于的一元一次不等式组有且仅有3个整数解，则的取值范围是 ．13．如图消防云梯，其示意图如图1所示，其由救援台AB、延展臂BC（B在C的左侧），伸展主臂CD、支撑EF构成，在作业过程中，救授台AB、车身GH及地面MN三者始终保持水平平行，为了参与一项高空救援工作，需要进行作业调整．如图2，使得延展臂BC与支撑臂EF所在直线互相垂直，且，则这时展角∠ABC＝°．14．如图，菱形的对角线交于点O，以点O为圆心，长为半径画圆，分别与菱形的边相交．若，则图中阴影部分的面积为 ．（结果不取近似值）

15．已知，D是线段上的动点且于点G，，则的最小值为 ．16．如图，在四边形中，，，，，，则的长为 ．

三、解答题（本大题共8小题，共72分）17．先化简，再求值：，其中．18．我区“韩乐坊”里的某餐厅，推出了三种套餐，单价分别是：8元、10元、15元．为了做好下阶段的经营与销售，该餐厅根据过去三种套餐销售情况的数据制成统计表如下，又根据过去平均每份套餐的利润与销售量之间的关系绘制成统计图如下：种类 A B C数量（份） 1800 2400 800过去平均每份的利润与销售量关系条形统计图请你根据以上信息，解答下列问题：(1)小明连续两天均在该餐厅购买了套餐（两次购买的是不同类型的套餐），试运用表格或树状图分析，求小明选择购买套餐为“”组合的概率；(2)根据相关部门规定，平均每份套餐的利润不得超过3元，否则应调低套餐的单价．请通过计算分析，该餐厅在后续的销售中是否需要调低套餐的单价 19．某工厂承接了一批纸箱加工任务，用如图1所示的长方形和正方形纸板（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸箱（加工时接缝材料不计）．若该厂购进正方形纸板1000张，长方形纸板2000张，问竖式纸盒、横式纸盆各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完？

20．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于，两点．

(1)求直线的函数表达式及点B的坐标；(2)过点A的直线分别与x轴、反比例函数的图象交于点M，N．且，连接，求的的面积．21．如图，半径为1的在矩形的内部，将圆周12等分，过各等分点作圆的切线，在第一条切线上量取，为图的周长，在第二条切线上量取，在第三条切线上量取，在第四条切线上量取，依此类推，将，，，用光滑的曲线连结，若此时于，于，所在直线恰好经过点，求边的长．

22．如图，是的直径，点是上一点，过点作的切线与的延长线交于点，过点作，与交于点，连接，．

(1)求证：；(2)若，，求的长．23．已知：在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过B、C两点，与轴的另一交点为点．(1)如图1，求拋物线的解析式；(2)如图2，点为直线上方拋物线上一动点，连接，设直线交线段于点，的面积为，的面积为，当最大值时，求点的坐标；(3)如图3，P、Q分别为抛物线上第一、四象限两动点，连接，分别交轴于M、N两点，若在P、Q两点运动过程中，始终有与的积等于2；试探究直线是否过某一定点；若是，请求出该定点坐标；若不是，请说明理由．24．在四边形中，是边上一点，延长至点使得，连接，延长交于点．(1)如图1，若四边形是正方形，①求证：；②当G是中点时，________________度；(2)如图2，若四边形是菱形，，当为的中点时，求的长；(3)如图3，若四边形是矩形，，，点在的延长线上，且满足，当是直角三角形时，请直接写出的长为__________________________．参考答案与解析1．D【分析】根据乘积是1的两数互为倒数；只有符号不同的两个数是互为相反数，据此填空即可．【详解】∵有理数的相反数是2，∴，∴的倒数等于，故选：D．【点睛】此题考查了相反数，倒数的定义．此题比较简单，解题的关键是掌握相反数和倒数的定义．2．D【分析】首先算出一粒粟的重量，结果是小于的正数，然后利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定前面有三个，故指数是．【详解】解：粒粟的重量大约为克，一粒粟的重量约为．故选：．【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，确定和的值是解答本题的关键．3．D【分析】根据合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法法则以及完全平方公式逐项计算即可．【详解】解：A．与不是同类项，不能合并，故不正确；B．，故不正确；C．，故不正确；D．，正确；故选D．【点睛】本题考查了合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法法则以及完全平方公式，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．4．A【分析】此题主要考查了中心对称图形的识别．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解．【详解】解：选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；选项B、C、D不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；故选：A．5．C【分析】利用科学计算器的使用规则把有理数混合运算，再计算．根据科学计算器的使用计算．【详解】解：依题意得：，故选：C．6．B【分析】本题考查了代数式的求值，根据题意可得，降次可得，利用整体思想即可求解．【详解】解：∵，∴故选：B7．D【分析】本题考查了平均数、方差、中位数、众数等知识，利用数据求出平均数，结合公式求出方差，对数据进行恰当处理即可得出答案，牢记相关概念和公式是解题的关键．【详解】．甲的平均数，故本选项不符合题意；．乙五次的成绩分别为，众数是，故本选项不符合题意；．由图可知，将甲五次的成绩从小到大排列为，中位数是，故本选项不符合题意；．方差乙的平均数，方差，本符合符合题意．故选：．8．D【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等边三角形的的判定与性质折叠的性质，连接，过作于点，于点，由折叠性质可得，，，从而证明是等边三角形，根据性质证明再由性质可证，最后根据全等三角形的性质即可求解，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用．【详解】如图，连接，过作于点，于点，∵平分，∴，由折叠性质可知，，，∴，∴是等边三角形，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，故选：．9．B【分析】过F作FH⊥AD于H，交ED于O，于是得到FH=AB=2，根据勾股定理得到AF===，根据平行线分线段成比例定理得到，OH=AE=，由相似三角形的性质得到=，求得AM=AF=，根据相似三角形的性质得到=，求得AN=AF=，即可得到结论．【详解】过F作FH⊥AD于H，交ED于O，则FH=AB=2．∵BF=2FC，BC=AD=3，∴BF=AH=2，FC=HD=1，∴AF===，∵OH∥AE，∴=，∴OH=AE=，∴OF=FH﹣OH=2﹣=，∵AE∥FO，∴△AME∽△FMO，∴=，∴AM=AF=，∵AD∥BF，∴△AND∽△FNB，∴=，∴AN=AF=，∴MN=AN﹣AM=﹣=，故选B．【点睛】构造相似三角形是本题的关键，且求长度问题一般需用到勾股定理来解决，常作垂线10．D【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质：若，把点代入，求出a的值，可求出抛物线解析式，再把解析式化为顶点式，即可求解；求出抛物线与x轴的另一个交点为，再根据二次函数的图象，即可求解；若，把点代入可得，再由，可得，，从而得到抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线，然后根据，可得，再根据，可得到对称轴的距离大于对称轴的距离，即可求解．【详解】解：当时，点，把点代入得：，解得：，∴该函数解析式为，∵，∴抛物线的对称轴为直线；选项A说法正确，不符合题意；令，则，解得：，∴抛物线与x轴的另一个交点为，∵，∴抛物线开口向下，∴当时，m的取值范围为或；选项B说法正确，不符合题意；若，把点代入得：，∵，∴，∴，∴，∴抛物线开口向下，选项C说法正确，不符合题意；抛物线的对称轴为直线，∴，∴，∴，∵，∴到对称轴的距离大于对称轴的距离，∴．选项D说法错误，符合题意；故选：D．11．【分析】本题主要考查算术平方根的知识，根据计算得出结论即可．【详解】解：∵，∴，故答案为：．12．【分析】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，根据不等式组的整数解得出关于a的不等式组是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，再根据“大取大小取小、大小小大中间找、大大小小无解了”确定不等式组的解集，再结合不等式组的整数解的个数得出关于a的不等式组，解之可得答案．【详解】解：，解不等式①得：，∴，解不等式②得：，∵不等式组有2个整数解，∴不等式组的解集为，从而得到不等式组的整数解为4、3、2，则，∴，故答案为：．13．【分析】延长BC、FE交于P，过P作PQ∥AB，根据平行线的性质求解即可．【详解】解：延长BC、FE交于P，过P作PQ∥AB，由题意，PQ∥AB∥GH，∴∠QPF=∠EFH=69°，∠ABC+∠BPQ=180°，∵BC⊥EF，∴∠BPF=90°，∴∠BPQ=90°－∠QPF=90°－69°=21°，∴∠ABC=180°－∠BPQ=180°－21°=159°，故答案为：159．【点睛】本题考查平行线的性质、垂直定义，理解题意，添加辅助线，利用平行线的性质解决实际问题是解答的关键．14．【分析】本题考查了求不规则图形的面积，涉及了菱形的判定与性质、勾股定理等知识点．根据题意推出四边形是菱形，结合图中阴影部分的面积为即可求解．【详解】解：如图所示：

∵，，∴是等边三角形，∴∵∴是等边三角形，∴∴∵点为的中点，∴，同理可得：是等边三角形，∴∴四边形是菱形∴∵∴∴∵∴图中阴影部分的面积为：故答案为：．15．【分析】本题主要考查了圆周角定理，勾股定理．根据，可得点G在以为直径的圆上运动，取的中点O，当点O，G，B三点共线时，的最小，再由勾股定理求出的长，即可求解．【详解】解：∵，即，∴点G在以为直径的圆上，取的中点O，当点O，G，B三点共线时，的最小，∵，∴，∵，∴，∴，即的最小值为．故答案为：．16．【分析】本题主要考查了矩形的判定和性质，勾股定理，正方形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．过点D作于点E，延长，过点D作于点F，证明四边形为矩形，得出，证明，得出，，证明四边形为正方形，得出，设，则，根据勾股定理求出．【详解】解：过点D作于点E，延长，过点D作于点F，如图所示：

则，∴四边形为矩形，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，，∴四边形为正方形，∴，设，则，解得：，∴，∴．故答案为：．17．，【分析】本题主要考查了分式的化简求值、零指数幂、特殊角的三角函数值和负整数指数幂，根据分式的乘除法法则把原式化简，根据零指数幂、特殊角的三角函数值、负整数指数幂求出x的值，代入计算即可，熟练掌握分式的混合运算法则是解决此题的关键．【详解】，∵∴，∴原式．18．(1)(2)需要调低套餐的单价【分析】本题主要考查了求事件的概率，统计表和条形统计图以及运用平均数作决策：（1）画树状图，再根据树状图得共有6中等可能结果，其中“”组合的有2种，由此可得选择购买“”组合的概率；（2）根据统计图表可知：A，B，C三种套餐的总利润为元，销售套餐总份数为份，由此得平均每份套餐的利润为元，据此可判定是否降价【详解】（1）解：画树状图如图所示：根据树状图可知：共有6中等可能结果其中“”组合的有2种，选择购买“”组合的概率为：；（2）解：根据统计图表可知：套餐销售1800份，每份利润为2元，套餐销售2400份，每份利润为4元，套餐销售800份，每份利润为3元，∴A，B，C三种套餐的总利润为：(元)，又销售套餐总份数为：(份)，平均每份套餐的利润为：(元)，，需要调低套餐的单价19．加工竖式纸盒200个，加工横式纸盒400个，恰好能将购进的纸板全部用．【分析】设加工竖式纸盒x个，加工横式纸盒y个，根据“正方形纸板1000张，长方形纸板2000张”，列出二元一次方程组，即可求解．【详解】设加工竖式纸盒x个，加工横式纸盒y个，根据题意得：，解得：．答：加工竖式纸盒200个，加工横式纸盒400个，恰好能将购进的纸板全部用．【点睛】本题主要考查二元一次方程组的实际应用，找出等量关系，列出方程组，是解题的关键．20．(1)直线的函数表达式为，(2)【分析】本题主要考查了函数图象上点的坐标的特征，反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，相似三角形的判定与性质等知识．（1）将代入直线与反比例函数，可得答案；（2）过点A作轴于P，过点N作于Q，根据平行线分线段成比例得，可得，从而得出直线的解析式为，，再计算即可；【详解】（1）解：将代入反比例函数得，，，将点代入得，，直线AB的函数表达式为，联立直线与反比例函数得，，解得，点的坐标为；（2）解：过点作轴于，过点作于Q，

设与轴交于，，，，，，，设线的解析式为，，解得，直线的解析式为，令，则，，.直线的函数表达式为，令，则，，21．【分析】构造矩形和直角三角形，求出，则．【详解】解:延长交于点，延长交MH于点,交于点， 于于，四边形是矩形，同理可得,四边形是矩形，，，，四边形是矩形，四边形是正方形，，，，，，，，，，【点睛】本题考查了圆的切线的性质，矩形、正方形的判定，解直角三角形等知识，关键是将线段MN分解，构造矩形和直角三角形．22．(1)见解析(2)【分析】（1）根据， 得出，根据，得出，即可证明结论；（2）连接，交于点，根据切线的性质得出，证明为的中位线，得出，解直角三角形得出，．最后根据勾股定理求出．【详解】（1）证明：∵，∴，又∵，∴．∴．（2）解：连接，交于点，如图所示：

∵是的切线，切点为，∴，∵，∴，∴⊥，∴为中点．∵为直径中点，∴为的中位线，∴，∵，∴．∵，∴，∵，∴，∵是的直径，∴，在中∵，∴，由勾股定理得．∴．∴．∵为中点， ，∴．在中， 由勾股定理得．【点睛】本题主要考查了切线的性质，勾股定理，解直角三角形，中位线的性质，圆周角定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．23．(1)(2)(3)直线过定点，理由见解析【分析】本题考查二次函数的图象及性质，（1）用待定系数法求函数的解析式即可；（2）设，过点D作轴交于G点，过点A作轴交于H点，由，可得，当时，有最大值为，此时；（3）设直线的解析式为，，当时，，，设直线的解析式为，直线的解析式为，当时，，当时，，，再由，可得，即，整理得，，由此可知直线经过点．【详解】（1）解：当时，，，当时，将点B、C代入中，，解得，抛物线的解析式为；（2）解：设，过点作轴交于点，过点作轴交于点，，，的面积为的面积为，点为直线BC上方抛物线上，，当时，有最大值，此时；（3）解：直线过定点，理由如下:设直线的解析式为，当时，，设直线的解析式为，直线的解析式为，当时，，当时，，整理得，，直线经过点.24．(1)①证明见解析；②67.5(2)(3)或或2【分析】（1）①正方形的性质结合即可得证；②连接，先证明垂直平分，进而得到，利用等边对等角进行求解即可；（2）取的中点，连接，三角形的中位线，得到，设，证明，列出比例式进行求解即可；（3）分点为直角顶点和点为直角顶点，两种情况，讨论求解即可．【详解】（1）解：①∵正方形，∴，，∴，又∵，∴；②连接，则：，∵，∴，∵，∴，∴，∵为的中点，∴，∴；故答案为：．（2）取的中点，连接，∵为的中点，∴，∴，∴，设，则：，∵菱形中，，∴，∴，∴，解得：或（舍去）；经检验：是原方程的解，∴；（3）∵矩形，∴，，∴，∵，∴，当点为直角顶点时，如图：设，则：，，∵，∴，∵，∴，∴，即：，解得：或；经检验或是原方程的解，∴或；当点为直角顶点时，如图：过点作，则：，，∴，，∴，∴，∴，，∴，∴；综上： 或或．【点睛】本题考查正方形的性质，菱形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，是解题的关键．

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